Спирали

 

Содержание этой страницы

Что такое спираль? 
Спирали по полярным уравнениям 
... Архимедовская спираль

 
... Эквивалентная спираль 
... Подробнее Спирали 
Clothoide 
Спирали из дуг 
Спирали из линейных сегментов

Трехмерные спирали 
локсодромия 
Изготовление спиралей 
Сплавы Мандельброта 
Спирали из металла

 
Спирали, спирали, спирали 
Спирали в Интернете 
Ссылки .

 

На главную страницу "Mathematische Basteleien"

Что такое спираль?

http://www.mathematische-basteleien.de/spiral01.gif

http://www.mathematische-basteleien.de/spiral02.gif

http://www.mathematische-basteleien.de/spiral03.gif

Спираль - это кривая в плоскости или в пространстве, которая проходит по центру особым образом. 


Различные спирали следуют. Большинство из них производятся по формулам.



Спирали по полярным уравнениям наверх

Архимед Спиральный верх 
Вы можете сделать спираль двумя движениями точки: существует равномерное движение в фиксированном направлении и движение по кругу с постоянной скоростью. Оба движения начинаются с одной и той же точки.

.......................... http://www.mathematische-basteleien.de/spiral04.gif ,

http://www.mathematische-basteleien.de/spiral05.gif

http://www.mathematische-basteleien.de/spiral06.gif

(1) Равномерное движение слева перемещает точку вправо. - Есть девять снимков. 
(2) Движение с постоянной угловой скоростью одновременно перемещает точку на спирали. - На каждом восьмом повороте есть точка. 
(3) Спираль как кривая приходит, если вы нарисуете точку на каждом шагу. 


Вы получаете формулы, аналогичные уравнениям окружности. 
Круг

... http://www.mathematische-basteleien.de/spiral07.gif ...

Пусть P - точка окружности с радиусом R, которая задается уравнением в центральном положении.

Существует три основных описания круга: 
(1) Центральное уравнение: x² + y² = R² или [y = sqr (R²-x²) и y = -sqr (R²-x²)], 
(2) Форма параметра: x (t) = R cos (t), y (t) = R sin (t), 
(3) Полярное уравнение: r (t) = R.

Вы указываете точку парой (радиус OP, угол t) в (простом) полярном уравнении. Радиус - это расстояние от начала координат (0 | 0). Угол лежит между радиусом и положительной осью х, его вершина в начале координат. 


спиральный 
Радиус r (t) и угол t пропорциональны самой простой спирали, спирали Архимеда. Поэтому уравнение равно: 
(3) Полярное уравнение: r (t) = at [a постоянное]. 
Из этого следует 
(2) Форма параметра: x (t) = at cos (t), y (t) = at sin (t), 
(1) Центральное уравнение: x² + y² = a² [arc tan (y / x)] ². 


... http://www.mathematische-basteleien.de/spiral08.gif ...

Архимедовская спираль начинается в начале координат и образует кривую с тремя раундами.

Расстояние между спиральными ветвями одинаково. 
Точнее: расстояния между точками пересечения вдоль линии через начало координат одинаковы.


... http://www.mathematische-basteleien.de/spiral26.gif ...

Если вы отражаете архимедову спираль на прямой линии, вы получаете новую спираль в противоположном направлении. 
Оба спирали выходят наружу. Если вы посмотрите на спирали, левая образует кривую, идущую влево, справа - кривую, идущую вправо.

Если вы соединяете обе спирали по прямой (красной) или погнутой кривой, развивается двойная спираль.


Equiangular Spiral (Логарифмическая спираль, спираль Бернулли) наверх

... http://www.mathematische-basteleien.de/spiral09.gif ...

(1) Полярное уравнение: r (t) = exp (t). 
(2) Форма параметра: x (t) = exp (t) cos (t), y (t) = exp (t) sin (t). 
(3) Центральное уравнение: y = x tan [ln (sqr (x² + y²))].

Логарифмическая спираль также выходит наружу. 
Спираль имеет характерную особенность: каждая строка, начинающаяся в начале координат (красная), разрезает спираль под тем же углом.


Больше спиралей наверх 
Если вы замените термин r (t) = at архимедовой спирали другими терминами, вы получите несколько новых спиралей. Существует шесть спиралей, которые вы можете описать с помощью функций f (x) = x ^ a [a = 2,1 / 2, -1 / 2, -1] и f (x) = exp (x), f ( х) = п (х). Вы различаете две группы в зависимости от того, как параметр t растет с 0.

... http://www.mathematische-basteleien.de/spiral10.gif .........

Если абсолютный модуль функции r (t) возрастает, спирали исходят изнутри наружу и превышают все пределы.

Спираль 1 называется параболической спиралью или спиралью Ферма.


...http://www.mathematische-basteleien.de/spiral11.gif....

Если абсолютный модуль функции r (t) уменьшается, спирали движутся извне внутрь. Они обычно бегут к центру, но они не доходят до него. Есть полюс.

Спираль 2 называется Литусом (кривым персоналом).

Я выбрал уравнения для разных спиральных формул, подходящих для построения. 


Clothoide ( Cornu Spiralнаверх

...http://www.mathematische-basteleien.de/spiral12.gif....

Клотоид или двойная спираль представляют собой кривую, кривизна которой растет с расстоянием от начала координат. Радиус кривизны пропорционален ее дуге, измеренной от начала координат.

Форма параметра состоит из двух уравнений с интегралами Френеля, которые могут быть разрешены только приблизительно.

Вы используете спираль Корну, чтобы описать распределение энергии дифракции Френеля на одной щели в волновой теории.


Спирали из дуги 
Полукруглая спирали

... http://www.mathematische-basteleien.de/spiral13.gif ...

Вы можете добавить половину кругов, растущих шаг за шагом, чтобы получить спирали.

Радиусы имеют соотношения 1 : 1,5 : 2 : 2,5 : 3 .....


Спираль Фибоначчи

... http://www.mathematische-basteleien.de/spiral14.gif ...

Нарисуйте два маленьких квадрата друг на друга. Добавьте последовательность растущих квадратов против часовой стрелки.

Нарисуйте четверть кругов внутри квадратов (черный).

Они образуют Спираль Фибоначчи.

Спираль Фибоначчи вызывается после его чисел. Если вы берете длину квадратных сторон в порядке, вы получаете последовательность 1,1,2,3,5,8,13,21, ... Это числа Фибоначчи, которые вы можете найти по рекурсивной формуле a (n) = a (n-1) + a (n-2) с [a (1) = 1, a (2) = 1, n> 2]. 


Спирали из линейных сегментов

... http://www.mathematische-basteleien.de/spiral15.gif ...

Спираль изготавливается по сегментам линий длиной 1,1,2,2,3,3,4,4, ....

Линии встречаются друг с другом под прямым углом.


...http://www.mathematische-basteleien.de/spiral16.gif...

Нарисуйте спираль на пересечении с четырьмя пересекающимися прямыми линиями, которые образуют углы 45 °. Начните с горизонтальной линии 1 и согните следующую линию перпендикулярно прямой. Сегменты линии образуют геометрическую последовательность с общим отношением sqr (2).

Если вы нарисуете спираль в пучок прямых линий, вы приближаетесь к логарифмической спирали, если углы становятся меньше и меньше.


...http://www.mathematische-basteleien.de/spiral17.gif...

Следующая спираль образована цепочкой прямоугольных треугольников, имеющих общую сторону. Гипотенуза одного треугольника становится ногой следующего. Первая ссылка - 1-1-sqr (2) -трейугольник.

Свободные ноги образуют спираль.

Особым является то, что треугольники касаются сегментов линии. Их длины являются корнями натуральных чисел. Вы можете доказать это с помощью теоремы Пифагора.

Эта фигура называется корневой спиралью или корневой улиткой или колесом Теодора.


... http://www.mathematische-basteleien.de/spiral18.gif ...

Квадраты поворачиваются вокруг их центра с 10 ° и сжимаются одновременно, так что их углы остаются по бокам их предыдущего квадрата. 
Результат: углы образуют четыре спиральных рукава. Спираль подобна спирали логарифма, если углы становятся все меньше и меньше. 
Вы также можете повернуть другие правильные многоугольники, например, равносторонний треугольник. Вы получаете похожие цифры.

Эта картина напоминает мне язык программирования LOGO в первые дни вычислений (C64-ностальгия). 


Трехмерные спирали 
спираль

...http://www.mathematische-basteleien.de/spiral19.gif...

Если вы нарисуете круг с x = cos (t) и y = sin (t) и равномерно потяните его в направлении z, вы получите пространственную спираль, называемую цилиндрической спиралью или спиралью.


Пара изображений делает возможным 3D-просмотр.

http://www.mathematische-basteleien.de/spiral30.gif


...http://www.mathematische-basteleien.de/spiral20.gif...

Отразите 3D-спираль на вертикальной плоскости. Вы получаете новую спираль (красную) с противоположным направлением.

Если вы держите правую руку вокруг правой спирали, и если ваш большой палец указывает в направлении спиральной оси, спираль движется по часовой стрелке вверх. Это правильный круг.

Вы должны использовать левую руку для левой спирали. Он левый круговой. Вращение против часовой стрелки.

Пример: почти все винты имеют вращение по часовой стрелке, потому что большинство людей правые.


...http://www.mathematische-basteleien.de/spiral21.gif...

В «технической» литературе правильная круговая спираль объясняется следующим образом: вы наводите прямоугольный треугольник вокруг цилиндра. Вращается вращающаяся спираль по часовой стрелке, если треугольник увеличивается вправо.


Коническая спираль Вверх 
Вы можете сделать коническую спираль с архимедовой спиралью или равноугольной спиралью.

http://www.mathematische-basteleien.de/spiral22.gif


Пары изображений делают 3D-вид возможным.

http://www.mathematische-basteleien.de/spiral31.gif

http://www.mathematische-basteleien.de/spiral32.gif


Локсодром , сферическая спираль

... http://www.mathematische-basteleien.de/spiral23.gif ...

Локсодром - это кривая на сфере, которая разрезает меридианы под постоянным углом. Они появляются на проекции Меркатора как прямые. 
Параметрическое представление 
x = cos (t) cos [1 / tan (at)] 
y = sin (t) cos [1 / tan (at)] 
z = -sin [1 / tan (at)] (a постоянна) 
Вы можете узнать x² + y² + z² = 1. Это уравнение означает, что локсодма лежит на сфере.

Как правило, на каждом твердом теле есть локсодром, который вращается вокруг оси. 


Изготовление спиралей вверх

...http://www.mathematische-basteleien.de/papier6.gif...

Полоска бумаги становится спиралью, если вы тянете полосу между большим пальцем и краем ножа, нажимая жестко. Спираль превращается в завиток, где присутствует гравитация.

Вы используете этот эффект для украшения концов синтетических материалов, таких как узкие красочные полоски или ленты, используемые в подарочной упаковке. 
Я полагаю, что вы должны объяснить этот эффект так же, как биметаллический бар. Вы создаете биметаллический бар, склеивая две полоски, каждая из которых изготовлена ​​из другого металла. Как только этот биметаллический стержень нагревается, одна металлическая полоса расширяется больше, чем другая, заставляя стержень изгибаться. 
Причина, по которой полоска изгиба бумаги связана не столько с разницей в температуре между верхней и нижней сторонами. Нож изменяет структуру поверхности бумаги. Эта сторона становится «короче». 
Кстати, полоска бумаги слегка согнется, если вы держите ее в разгар пламени свечи. 

...http://www.mathematische-basteleien.de/spiral29.jpg...

Формирование кудрей напоминает мне игру старых детей: возьмите цветок одуванчика и разрежьте стебель на две или четыре полоски, сохранив голову неповрежденной. Если вы поместите цветок в какую-то воду, чтобы голова плавала на поверхности, полоски стебля будут скручиваться. (Помните пятна.)

Возможное объяснение: возможно, различное поглощение воды с каждой стороны полосок заставляет их скручиваться.


Набор Мандельброта Спирали сверху

http://www.mathematische-basteleien.de/spiral24.jpg

Координаты принадлежат центру изображений.


Вы также найдете хорошие спирали, как Джулия Сетс. Вот пример:

http://www.mathematische-basteleien.de/spiral25.jpg

Вы найдете больше об этой графике на моей странице Mandelbrot Set

 . 

Спирали из металла 
Вы находите приятные спирали как украшение запертых окон, заборов, ворот или дверей. Вы можете видеть их повсюду, если вы смотрите вокруг.

... http://www.mathematische-basteleien.de/spiral27.jpg ...

Я нашел спирали, которые стоит показать в Нью-Ульме, штат Миннесота, США.

Американцы с немецкой родословной построили копию памятника Герману возле Детмольда / Германии примерно в 1900 году. 
Железные перила со многими спиралями украшают лестницу (фото).

Подробнее об американском и немецком Германе на страницах Википедии (URL-адрес ниже)

Драгоценности костюмов также воспринимают спирали как мотив.

... http://www.mathematische-basteleien.de/spiral28.jpg ...

Спираль Аннетты 
http://www.mathematische-basteleien.de/strich6.gif

Спирали, спирали, спирали 
Аммониты, рога диких овец, водная спираль Архимеда, площадь высокого или низкого давления, расположение ячеек подсолнечника, @, биметаллический термометр, посох епископа, знак Бретани, круги морского орла, лезвия, вращающаяся молочная кислота по часовой стрелке, облака дыма, катушка, спиральная пружина, штопор, лианы (растения), завиток, депрессия в метеорологии, диск Festós, двойная нить лампы, двойная спираль ДНК, двойная спираль, электронные лучи в
магнитном продольном поле, электроны в циклотроне, спираль Exner, метка пальца, конус ели, рост планера, паз записи, голова музыкального инструмента скрипка, нагревающая проволока внутри конфорки, спираль тепла, спираль спирали, спираль инфляции, кишечник головастика, спираль знания, солодка, жизненная спираль, атлас Лоренца, минарет в Самарре (Ирак), рожок музыкального инструмента, маятниковый малый маятник Галилея, рельефная полоска колонны Траяна в Риме или колонна Бернварда в Хильдесхайме, маковая улитка, дорога конусной горы , роль (провод , нить, кабель, шланг, рулетка, бумага, повязка), резьбовые резьбы, простой маятник с трением, змея в положении покоя, змея Эскулапа, улитка внутреннего уха, свитки, винтовая водоросль, улитка, паутина, спиральная туманность, спиральная туманность, винтовая лестница (например, две винтовые лестницы в стеклянном куполе рейхстага в Берлине), Spirallala ;-), лапша Spirelli, спириллы (например, холерная палочка), пружины матраса, всасывающий ствол челюсть) капустной белой бабочки, хвост морской лошади, краны хвойных, язык и хвост хамалеона, следы на CD или DVD, скрипичный ключ, бивни гигантов, вирусы, спираль, пружина часов и весна механического часы, водоворот, вихрь. 

Спирали в Интернете

Немецкий

Асти 
style='color:blue'>BEWEGUNGSFUNKTIONEN Spiralen

DHO Braasch 
Spiralen als Symbol der Sonnenbahn

Юрген Беркемейер 
Фибоначчи Спирален

Matheprisma 
Bewegungsfunktionen (Spiralen 1) - ( Spiralen online zeichnen )

Майкл Комма 
Френель-Бегунг-ам-Эйнцелспальт ( Корну-Спирале )

Сюзанна Хельбиг, Карин Хенкель и Ян Кринер 
Spiralen в Naturwissenschaft, Technik und Kunst

Стефан Якель и Сергей Амбони 
Спираль в Натуре, Техник и Кунст 
(Referenz:
Heitzer J, Spiralen, ein Kapitel phänomenaler Mathematik, Leipzig, 1998)

Википедия 
Спирале , Клотайд , Логарифмическая спирале , Фибоначчи Фолге , Локсодром , Улам-Спирале 
Германсденкмаль , памятник Германн Хайтс 


английский

Айхан Курсат ЭРБАС 
Смешанная спираль

Боб Аллансон 
Это логарифмическая спираль

Дэвид Эппштейн (Geometry Junkyard) 
Спирали , (Ссылки)

Эрик У. Вайсштейн (MathWorld) 
Спирали : 
Архимедская спираль , круговая кривая , коническая спираль , спина Корну , фрактал Curlicue , спираль Ферма , спираль , гиперболическая спираль , логарифмическая спираль , проблема с мышами , спираль Нильсена , полигональная спираль , прайм-спираль , рациональная спираль , ракушка , сферическая спираль

Хоп Дэвид (Галерея Хопа) 
Сфера Римана , Рог Рама , Спиральная плитка

Иварс Петерсон 
Преследование кривых преследования

Ян Вассенаар 
спираль

Джон Макнаб 
Скульптуры

Кит Девлин 
Двойная спираль

Марк Ньюболд 
Контр-вращающаяся спиральная иллюзия

Ричард Паррис (Freeware-программа WINPLOT) 
Сайт officiell закрыт. Например, загрузка немецкой программы в heise

Xah Lee 
Эквивалентная спираль , Архимедовы спирали , Литус , Спинная спина Корну

Википедия 
Спиральная , архимедова спираль , спина Корну, спираль Ферма , Гиперболическая спираль , Литус , Логарифмическая спираль , 
Спираль Фибоначчи , Золотая спираль , линия Роума , спираль Улама , 
Памятник Герман Хайтс , Хермансденкмаль 

Французский

Роберт ФЕРРЕОЛЬКУРБЫ 2D ) 
SPIRALE 
КУРБЫ 3D (SPHÉRO-CYLINDRIQUE, SPIRALE CONIQUE DE PAPPUS, SPIRALE CONIQUE DE PIRONDINI, SPIRALE SPHÉRIQUE) 

Ссылки вверху 
(1) Мартин Гарденер: Unsere gespiegelte Welt, Ullstein, Berlin, 1982 [ISBN 3-550-07709-2] 
(2) Райнер и Патрик Гайч: Компьютер-Льюкенен для Шуле и Студия, Группа 2, Ландсберг-ам-Лех, 1985 
(3) Ян Гуллберг: Математика - от рождения чисел, Нью-Йорк / Лондон (1997) [ISBN 0-393-04002-X] 
(4) Н. Н. Бояджиев: спирали и конхоспиралы в полете насекомых, журнал математики колледжа, 
Vol.30, No.1 (Jan., 1999) pp.23-31 
(5) Джилл Purce: мистическая спираль - Путешествие Души, Темзы и Хадсон, 1972, перепечатано 1992 

Обратная связь: адрес электронной почты на моей главной странице

Эта страница также доступна на немецком языке

URL моей домашней страницы: 
http://www.mathematische-basteleien.de/

© Юрген Кёллер 2002